设函数f(x)=lnx+mx，m∈R．（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）讨论函数g(x)=f′(x)-x3零点的个数．

Question

设函数f(x)=lnx+(m)/(x)，m∈R．
（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；
（2）讨论函数g(x)=f′(x)-(x)/(3)零点的个数．

Answer 1

（1）当m=e时，f(x)=lnx+(e)/(x)，∴f′(x)=(x-e)/(x2)
当x∈（0，e）时，f′（x）<0，f（x）在x∈（0，e）上是减函数；
当x∈（e，+∞）时，f′（x）>0，f（x）在x∈（e，+∞）上是增函；
∴当x=e时，f（x）取最小值f(e)=lne+(e)/(e)=2．
（2）∵函数f(x)=f′(x)-(x)/(3)=(x-m)/(x2)-(x)/(3)(x>0)，
令g（x）=0，得m=-(1)/(3)x3+x(x>0)；
设φ(x)=-(1)/(3)x3+x(x≥0)，则φ′（x）=-x²+1=-（x-1）（x+1）
当x∈（0，1）时，φ′（x）>0，φ（x）在x∈（0，1）上是增函数；
当x∈（1，+∞）时，φ′（x）<0，φ（x）在x∈（1，+∞）上是减函数；
当x=1是φ（x）的极值点，且是唯一极大值点，∴x=1是φ（x）的最大值点；
∴φ（x）的最大值为φ(1)=(2)/(3)，又φ（0）=0结合y=φ（x）的图象，

可知：①当m>(2)/(3)时，函数g（x）无零点；
②当m=(2)/(3)时，函数g（x）有且只有一个零点；
③当0<m<(2)/(3)时，函数g（x）有两个零点；
④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；
综上：当m>(2)/(3)时，函数g（x）无零点；
当m=(2)/(3)或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；
当0<m<(2)/(3)时，函数g（x）有且只有两个零点；