（2014•漳州二模）已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）若a=1，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若a＜0，求f（x）的单调区间；（3）若a=-1，

Question

（2014•漳州二模）已知函数f（x）=（ax²+x-1）e^x，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（1）若a=1，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a＜0，求f（x）的单调区间；
（3）若a=-1，函数f（x）的图象与函数g（x）=(1)/(3)x³+(1)/(2)x²+m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

∵f（x）=（ax²+x-1）e^x，∴f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x-1）e^x=（ax²+2ax+x）e^x，
（1）当a=1时，f（1）=e，f′（1）=4e，故切线方程为y-e=4e（x-1），
化为一般式可得4ex-y-3e=0；
（2）当a＜0时，f′（x）=（ax²+2ax+x）e^x=[x（ax+2a+1）]e^x，
若a=−(1)/(2)，f′（x）=-(1)/(2)x²e^x≤0，函数f（x）在R上单调递减，
若a＜−(1)/(2)，当x∈（-∞，-2-(1)/(a)）和（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（-2-(1)/(a)，0）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
若−(1)/(2)＜a＜0，当x∈（-∞，0）和（-2-(1)/(a)，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（0，-2-(1)/(a)）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
（3）若a=-1，f（x）=（-x²+x-1）e^x，可得f（x）-g（x）=（-x²+x-1）e^x-(1)/(3)x³-(1)/(2)x²-m，
原问题等价于f（x）-g（x）的图象与x轴有3个不同的交点，
即y=m与y=（-x²+x-1）e^x-(1)/(3)x³-(1)/(2)x²的图象有3个不同的交点，
构造函数F（x）=（-x²+x-1）e^x-(1)/(3)x³-(1)/(2)x²，
则F′（x）=（-2x+1）e^x+（-x²+x-1）e^x-x²-x
=（-x²-x）e^x-x²-x=-x（x+1）（e^x+1），令F′（x）=0，可解得x=0或-1，
且当x∈（-∞，-1）和（0，+∞）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，
当x∈（-1，0）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，
故函数F（x）在x=-1处取极小值F（-1）=−(3)/(e)−(1)/(6)，在x=0处取极大值F（0）=-1，
要满足题意只需∈（−(3)/(e)−(1)/(6)，-1）即可．
故实数m的取值范围为：（−(3)/(e)−(1)/(6)，-1）