已知函数f（x）=lnx-x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若方程f（x）=m（m<-2）有两个相异实根x1，x2，且x1<x2，证明：x1•x22<2．

Question

已知函数f（x）=lnx-x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若方程f（x）=m（m<-2）有两个相异实根x₁，x₂，且x₁<x₂，证明：x₁•x₂²<2．

Answer 1

（1）f（x）=lnx-x的定义域为（0，+∞）                              …（1分）
令f′（x）<0得x>1，令f′（x）>0得0所以函数f（x）=lnx-x的单调减区间是（1，+∞），单调递增区间（0，1）…（3分）          …（4分）
（2）由（1）可设f（x）=m（m<-2）有两个相异实根x₁，x₂，满足lnx-x-m=0
且01<1，x₂>1，lnx₁-x₁-m=lnx₂-x₂-m=0                …（5分）
由题意可知lnx₂-x₂=m<-2又由（1）可知f（x）=lnx-x在（1，+∞）递减
故x₂>2                                                      …（7分）
令g（x）=lnx-x-m
g（x₁）-g（(2)/(x22)）=-x₂+(2)/(x22)+3lnx₂-ln2                       …（8分）
令h（t）=-t+(2)/(t2)+3lnt-ln2（t>2），
则h′（t）=-((t-2)2(t+1))/(t3)．
当t>2时，h′（t）<0，h（t）是减函数，所以h（t）<h（2）=2ln2-(3)/(2)<0．…（9分）
所以当x₂>2 时，g（x₁）-g（(2)/(x22)）<0，即g（x₁）<g（(2)/(x22)）              …（10分）
因为g（x）在（0，1）上单调递增，
所以x₁<(2)/(x22)，故x₁•x₂²<2．                                         …（11分）
综上所述：x₁•x₂²<2                                                …（12分）