设函数f（x）=x2+bln（x+1），（1）若对定义域的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围．

Question

设函数f（x）=x²+bln（x+1），
（1）若对定义域的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；
（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）由x+1＞0得x＞-1
∴f（x）的定义域为（-1，+∞），
对x∈（-1，+∞），都有f（x）≥f（1），
∴f（1）是函数f（x）的最小值，故有f′（1）=0，
f/(x)＝2x+(b)/(x+1)，∴2+(b)/(2)＝0，
解得b=-4．
（2）∵f/(x)＝2x+(b)/(x+1)＝(2x2+2x+b)/(x+1)，
又函数f（x）在定义域上是单调函数，
∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在（-1，+∞）上恒成立．
若f′（x）≥0，
∵x+1＞0，
∴2x²+2x+b≥0在（-1，+∞）上恒成立，
即b≥-2x²-2x=−2(x+(1)/(2))2+(1)/(2)恒成立，由此得b≥(1)/(2)；
若f′（x）≤0，
∵x+1＞0，
∴2x²+2x+b≤0，即b≤-（2x²+2x）恒成立，
因-（2x²+2x）在（-1，+∞）上没有最小值，
∴不存在实数b使f（x）≤0恒成立．
综上所述，实数b的取值范围是[(1)/(2)，+∞)．
故答案为：（1）b=-4；（2）实数b的取值范围是[(1)/(2)，+∞)．