已知函数(1)判断函数f(x)在区间(0，+∞)上的单调性并加以证明；(2)求函数f(x)的值域；(3)如果关于x的方程有两个不同的实数解，求实数k的取值范围．

Question

已知函数
(1)判断函数f(x)在区间(0，+∞)上的单调性并加以证明；
(2)求函数f(x)的值域；
(3)如果关于x的方程有两个不同的实数解，求实数k的取值范围．____

Answer 1

【分析】(1)利用单调函数的定义证明函数的单调性设0<x₁<x₂，则f(x₁)-f(x₂)>0，得到f(x)在(0，+∞)单调递增．
\n(2)当x≥0时利用分式的性质求值域，因为0≤x＜x+2，所以<1，即0≤f(x)<1；
\n(3)当x=0时，f(x)=kx²，∴x=0为方程的解．当x>0时，∴，当x<0时，
\n∴，即得到函数与函数h(x)=图象有两个交点时k的取值范围，应用导数画出g(x)的大致图象，可得k的范围．

(1)设0<x₁<x₂，
\nf(x₁)-f(x₂)=>0，
\n∴f(x)在(0，+∞)单调递增．
\n(2)当x≥0时，f(x)=，
\n又x<x+2，
\n∴<1，即0≤f(x)<1；
\n当x<0(x≠-2)时，f(x)=，
\n∴，由x<0，得
\ny<-1或y>0．
\n∴f(x)的值域为(-∞，-1)∪[0，+∞)．
\n(3)当x=0时，f(x)=kx²，
\n∴x=0为方程的解．
\n当x>0时，，∴kx²(x+2)=1，∴，
\n当x<0时，，∴kx²(x+2)=-1，∴，
\n即看函数
\n与函数h(x)=图象有两个交点时k的取值范围，应用导数画出g(x)的大致图象，
\n∴，
\n∴k<．

【点评】本题主要考察利用单调函数的定义证明函数的单调性，利用反函数与导数求函数的值域，解决此类问题的方法是熟悉单调函数的定义与求值域的方法．