我们把定义在R上，且满足f（x+T）=af（x）（其中常数a，T满足a≠1，a≠0，T≠0）的函数叫做似周期函数．（1）若某个似周期函数y=f（x）满足T=1且图象关于直线x=1对称．求证：函数f（x）

Question

我们把定义在R上，且满足f（x+T）=af（x）（其中常数a，T满足a≠1，a≠0，T≠0）的函数叫做似周期函数．
（1）若某个似周期函数y=f（x）满足T=1且图象关于直线x=1对称．求证：函数f（x）是偶函数；
（2）当T=1，a=2时，某个似周期函数在0≤x＜1时的解析式为f（x）=x（1-x），求函数y=f（x），x∈[n，n+1），n∈Z的解析式；
（3）对于确定的T＞0且0＜x≤T时，f（x）=3 ^x ，试研究似周期函数函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是否可能是单调函数？若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由．

Answer 1

（1）∵x∈R关于原点对称，
又函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，f（1-x）=f（1+x）①
又T=1，∴f（x+1）=af（x），②，
用-x代替x得f（-x+1）=af（-x），③
由①②③可知af（x）=af（-x），∵a≠1且a≠0，∴f（x）=f（-x）．即函数f（x）是偶函数；
（2）当n≤x＜n+1（n∈Z）时，0≤x-n＜1（n∈Z）f（x）=2f（x-1）=2 ² f（x-2）=…=2 ⁿ f（x-n）=2 ⁿ （x-n）（n+1-x）；
（3）当nT＜x≤（n+1）T（n∈N）时，0＜x-nT≤T（n∈N）f（x）=af（x-T）=a ² f（x-2T）=…=a ⁿ f（x-nT）=a ⁿ 3 ^x-nT
显然a＜0时，函数y=f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数，
又a＞0时，f（x）=a ⁿ 3 ^x-nT ，x∈（nT，（n+1）T]，n∈N是增函数，
此时f（x）∈（a ⁿ ，a ⁿ 3 ^T ]，x∈（nT，（n+1）T]，n∈N，
若函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有a ⁿ⁺¹ ≥a ⁿ 3 ^T ，
解得a≥3 ^T ．