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为什么说若函数f(x)的定义域为R,且图像关于(a,0)和(b,0)都中心对称,则函数的一个周期为2(b-a)?
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为什么说若函数f(x)的定义域为R,且图像关于(a,0)和(b,0)都中心对称,则函数的一个周期为2(b-a)?
▼优质解答
答案和解析
∵函数f(x)有两个对称中心：A(a,0),和B(b,0).(不妨设b＞a).
∴对任意实数x,恒有：
f(x)+f(2a-x)=0.且f(x)+f(2b-x)=0.
∴恒有f(2a-x)=f(2b-x).
可设2a-x=t.则2b-x=2(b-a)+t.
∴f[2(b-a)+t]=f(t).
即恒有f[2(b-a)+x]=f(x).∴函数f(x)为周期函数,T=2(b-a).
∴对任意实数x,恒有：
f(x)+f(2a-x)=0.且f(x)+f(2b-x)=0.
∴恒有f(2a-x)=f(2b-x).
可设2a-x=t.则2b-x=2(b-a)+t.
∴f[2(b-a)+t]=f(t).
即恒有f[2(b-a)+x]=f(x).∴函数f(x)为周期函数,T=2(b-a).
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