什么是函数周期性最好有例题,

Question

什么是函数周期性
最好有例题,

Answer 1

已知a为常数,f(x)不等于0,且f(x+a)=(f(x)-1)/(f(x)+1)
f(X)是否为周期函数?若是,求他的一个周期
这是一道老题,也是一道运用类比思想的好题.
解析：
f(x)不等于0,且f(x+a)=(f(x)-1)/(f(x)+1),看到这个条件你会想到什么?
我想大部分同学第一次遇到这个题会感到茫然,情理之中.下面先看这样一道题,
例,已知a为常数,f(x)不等于0,且f(x+a)=(f(x)+1)/(1-f(x))是否存在周期?存在的话是多少?
我想一见到这道题,同学们都会想到tan（x+派/4）=（tanx+1）/（1-tanx）.继而发生类比,至此可知例题中的函数周期是存在的,tan（x+派/4）=（tanx+1）/（1-tanx）的周期为 派,即4·派/4,这里 派/4相当于题中的a,可知例题中的函数是存在的,切周期为4a.
那么若把派/4换成-派/4,则tan（x-派/4）=（tanx-1）/（tanx+1）,类比原题中的函数可知,原函数的周期是存在的,周期是tan（x-派/4）的周期,即 派.也就是
-4a,当然,4a也是它的周期之一.
这道题还有其他方法,不过需要有很强的观察力才能想到上面方法.
至此我们知道,题来自书中,书中的概念,公式要熟记.也就是基础知识必须扎实.
函数的周期性
（一）概念
对于函数 ,如果存在一个不为零的常数 ,使得当< style='' > 取定义域内的每一个值时,是函数的一个周期,故 是周期函数,假设 ,当 未必是函数的一个周期,但若 是函数的一个周期,而 任一有理数是 的周期,用数学归纳法易证 的周期,换言之,一个周期函数必有其周期集合,且此集合是一个至少一方无界的无穷点集.
（5）周期函数的定义域至少是一方无界
因函数的周期集合是定义域的子集,由（4）知周期集合至少一方无界,故定义域至少一方无界.
（6）周期函数的定义域内的点不一定是连续的,可能是有间断的,如函数 ,假设 ,对任 代入上式,有
∵
于是 矛盾,故 是以T为周期的函数,证明
（1）对任意正整数 ,的周期
（2） 的所有周期都是T的整数倍
注：若
证：
（1） 的任意一个周期,且 ,使 （ ,则
也是 与T的最小性矛盾,故 是数集A上的周期函数,则 有最小正周期T,则T也是函数 周期,则任 从而 的周期.
（2）由（1）知T也是 的最小正周期,则存在 是
即 的周期,且为正数,这与T是 的最小正周期
3.函数 以 为最小正周期
证（ 充分性）设
∴ ,故 在 上,反之同理可证.
以上有点高深 建议只看思想