∫π2-π2（sin3x+cos2x）dx的值是π2π2．

Question

∫	(π)/(2) -(π)/(2)

（sin³x+cos²x）dx的值是

(π)/(2)

(π)/(2)

．

Answer 1

因为sin³x+cos²x
=sinx（1-cos²x）+cos²x
=sinx-sinxcos²x+cos²x
=sinx-sinx×(1+cos2x)/(2)+(1+cos2x)/(2)
=sinx-(1)/(2)sinx-(1)/(2)sinxcos2x+(1)/(2)cos2x+(1)/(2)
=(1)/(2)sinx+(1)/(2)cos2x-(1)/(4)（sin3x-sinx）+(1)/(2)
=(1)/(2)sinx+(1)/(2)cos2x-(1)/(4)sin3x+(1)/(4)sinx+(1)/(2)
=(3)/(4)sinx+(1)/(2)cos2x-(1)/(4)sin3x+(1)/(2)
∴

∫	(π)/(2) -(π)/(2)

（sin³x+cos²x）dx
=

∫	(π)/(2) -(π)/(2)

（(3)/(4)sinx+(1)/(2)cos2x-(1)/(4)sin3x+(1)/(2)）dx
=（-(3)/(4)cosx+<

作业帮用户 2017-11-09

问题解析

利用根据二倍角公式，积化和差公式，和降幂的思想把sin³x+cos²x转化为=

(1)/(4)(3)/(4)sinx+(1)/(2)cos2x-(1)/(4)sin3x+(1)/(2)，再根据微积分基本定理，计算可得．

名师点评

本题考点：

定积分．

考点点评：

本题考查了定积分的问题和三角函数的转化问题，本题的关键是利用转化思想，尤其是三角函数中的积化和差公式，属于难题，
大纲中三角恒等变换
（1）和与差的三角函数公式
　　①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．
③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
（2）简单的三角恒等变换
　　能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）．

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