过点P（3,3）作直线l交圆C；（X＋2）^2＋Y^2＝4于A,B两点,当三角形ABC面积最大时,求求直线l的方程

Question

过点P（3,3）作直线l交圆C；（X＋2）^2＋Y^2＝4于A,B两点,当三角形ABC面积最大时,求
求直线l的方程

Answer 1

C(-2,0)为圆心,A、B在圆上
则,△ABC为等腰三角形（其中AC=BC=2）
设圆心角∠ACB = α,过C作CD⊥AB于D,
则D为BC中点 （三线合一定理）
在Rt△ACD中,CD=2*sin(α/2),AD=2*cos(α/2)
则,S△ABC = (1/2)*AB*CD
= (1/2)*2sin(α/2)*2cos(α/2)
= sinα
∵α∈[0,π]
∴当且仅当 α=π/2时,S△ABC可取最大值 1
此时,CD=2*sin(α/2) = 2*（√2/2） = √2, 即点C(-2,0)到直线l的距离为√2
不妨设直线l的解析式为 y-3 = k(x-3)
解析式可转化为 kx -y -3k+3 = 0
根据点到直线距离公式,有
| k*(-2) - 0 - 3k + 3 | /√(k²+1) = √2
解得,k=1 或 k=7/23
∴直线l的方程为 x - y =0 或 7x - 23y + 48 = 0时,△ABC的面积可取最大值 1.