求解非齐次线性方程,y''+y=sinx-cos2x,

Question

求解非齐次线性方程,y''+y=sinx-cos2x,

Answer 1

显然对应的齐次方程为y"+y=0
特征方程为r²+1=0,即r= i或-i
所以齐次方程的通解为y= c1sinx +c2cosx
而非齐次项中sinx也满足(sinx)" +sinx=0
所以设特解为
y*= ax *sinx + bx*cosx + c* cos2x,abc均为常数
那么
y'= asinx +ax *cosx +bcosx -bx *sinx -2c *sin2x
而y"=2acosx -ax*sinx -2bsinx -bx *cosx -4c *cos2x
所以
y" +y =2acosx -2bsinx -3c *cos2x
比较系数得到
a=0,b= -1/2,c= 1/3
所以特解
y*= -1/2 *x*cosx + 1/3 *cos2x
于是方程的解为
y=c1sinx +c2cosx - x/2 *cosx +1/3 *cos2x ,c1c2为常数