2到行列式问题如果行列式中值为零的元素的个数大于n*2-n,则行列式的值?n阶行列式D中,副对角线上元素的乘积a1na2n-1.an1在行列式中的符号?

Question

2到行列式问题
如果行列式中值为零的元素的个数大于n*2-n ,则行列式的值?
n阶行列式D中,副对角线上元素的乘积a1na2n-1.an1 在行列式中的符号?

Answer 1

行列式中值为零的元素的个数大于n*2-n,则非零元素个数少于n²-(n²-n) = n个,即最多只有n-1个非零元素,则n阶行列式有n行,则至少有一行没有非零元素,即全为0,将行列式按该行展开,则行列式的值为0
计算a1na2n-1.an1 的逆序数
行下标都是顺序的,观察列下标
a(1,n)开始,有a(2,n-1),a(3,n-2),……,a(n,1),n-1个
a(2,n-1)开始,有a(3,n-2),a(4,n-3) ……,a(n,1),n-2个
…… ……
a(n-1,2)开始,有a(n,1),1个
则逆序数t = (n-1) + (n-2) + …… + 1 = n(n-1)/2
即 a1na2n-1.an1 在行列式中的符号为(-1)^[n(n-1)/2]