.待定系数1.把分式(X^2-2X+5)/(X^4-4X^3+5X^2-4X+4)写成最简部分分式.2.已知以X为自变量的二次函数Y=4X^2-8NX-3N-2,该二次函数的图象与X轴两个交点的横坐标的差的平方等于关于X的方程X^2-(7N+6)X+2(N+1)(5N+4

Question

.待定系数
1.把分式(X^2-2X+5)/(X^4-4X^3+5X^2-4X+4)写成最简部分分式.
2.已知以X为自变量的二次函数Y=4X^2-8NX-3N-2,该二次函数的图象与X轴两个交点的横坐标的差的平方等于关于X的方程X^2-(7N+6)X+2(N+1)(5N+4)=0的一整根,求N的值.

Answer 1

因为原式=(x^2-2x+5)/[(x^2+1)*(x-2)^2]
所以设原式=a/(x-2)+b/[(x-2)^2]+(cx+d)/(x^2+1)
=[(a+c)x^3+(b-2a+d-4c)x^2+(a+4c-4d)x+(b-2a+4d)]/(X^4-4X^3+5X^2-4X+4),与原式分子比较系数得方程组a+c=0
b-2a+d-4c=1
a+4c-4d=-2
b-2a+4d=5
解得:a=-1/5,b=3/4,c=1/5,d=13/20
代入原式可得部分分式为[1/5(x-2)]+[3/4(x-2)^2]+(4x+13)/(20x^2+20)
2,X^2-(7N+6)X+2(N+1)(5N+4)=[x-(5n+4)]*[x-(2n+2)]=0,可得x1=5n+4,x2=2n+2
图象与X轴两个交点的横坐标的差的平方等于(判别式的算术平方根/4)^2
=判别式^2/16
=[64n^2+16(3n+2)]/16
=4n^2+3n+2
只需要等于2n+2,或等于5n+4.
方程一:4n^2+3n+2=2n+2,解得整数根n=0（另一根为-1/4,不为整数根,故舍去）
方程二：4n^2+3n+2=5n+4解得其唯一整根为1.
综上,n=0或1