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如图,已知直棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=5,BC=BB1=8,M,N分别为棱BC,CC1的中点.(1)求证:BN⊥AB1;(2)求四棱锥A-MB1C1C与三棱柱ABC-A1B1C1的体积比.

题目详情
如图,已知直棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=5,BC=BB1=8,M,N分别为棱BC,CC1的中点.
(1)求证:BN⊥AB1
(2)求四棱锥A-MB1C1C与三棱柱ABC-A1B1C1的体积比.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵直棱柱ABC-A1B1C1中,BC=BB1
∴侧面BB1C1C为正方形
∵M,N分别为BC,CC1的中点,
∴Rt△BCN≌Rt△B1BM,得∠CBN=∠BB1M=90°-∠NBB1
由此可得∠NBB1+∠BB1M=90°,得BN⊥B1M
∵直棱柱ABC-A1B1C1中,B1B⊥平面ABC,B1B⊂平面BB1C1C
∴平面ABC⊥平面BB1C1C
∵△ABC中,AB=AC=5,M为BC中点,∴AM⊥BC
∵平面ABC∩平面BB1C1C=BC,AM⊂平面ABC
∴AM⊥平面BB1C1C,结合BN⊂平面BB1C1C,得BN⊥AM
∵AM、B1N是平面AB1M内的相交直线
∴BN⊥平面AB1M,再由AB1⊂平面AB1M,得BN⊥AB1
(2)∵AB=5,MB=
1
2
BC=4,∴AM=
AB2−BM2
=3
∴四棱锥A-MB1C1C的体积:VA-MB1C1C=
1
3
S四边形MB1C1C•AM=
1
3
×(82-
1
2
×8×4)=48
又∵三棱柱ABC-A1B1C1的体积V三棱柱ABC-A1B1C1=S△ABC•BB1=
1
2
×8×3×8=96
∴四棱锥A-MB1C1C与三棱柱ABC-A1B1C1的体积比为48:96=1:2.