设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的右焦点为F,过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点,直线l的倾斜角为60度,向量AF=2FB.(1)求椭圆C的离心率.(2)如果|AB|=15/4,求椭圆C的方程、

Question

设椭圆C :x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的右焦点为F,过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点,直线l的倾斜角为60度,向量AF=2FB.
(1)求椭圆C的离心率.
(2)如果|AB|=15/4,求椭圆C的方程、

Answer 1

1.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线L的方程为y=√3(x+c),将直线方程代入椭圆中得到
（b^2+3a^2）x^2+6ca^2+3(ac)^2-(ab)^2=0
△=b^2-4ac=(6ca^2)^2-4（b^2+3a^2）(3(ac)^2-(ab)^2)=4ab^2
则根据公式可以表示出x1,x2=(-3ca^2±2ab^2)/(b^2+3a^2).
再由AF=2FB知A,B的横坐标满足x1-(-c)=2(-c-x2).即x1+2x2=-3c
将x1,x2代入上式中得3cb^2=2ab^2 得e=2/3
或：1.
l:y=(x-c)√3,①
其中c=√(a^2-b^2),
代入x^2/a^2+y^2/b^2=1,②
整理得（b^2+3a^2)x^2-6a^2*cx+a^2(3c^2-b^2)=0,
△=36a^4*c^2-4(b^2+3a^2)*a^2(3c^2-b^2)
=16a^2*b^4.
由向量AF=2FB得c-x1=2(x2-c),
∴x1+2x2=3c,4ab^2=6b^2*c,
∴c/a=2/3.
2.由弦长公式,|AB|=8ab^2/(b^2+3a^2)=15/4,
由1,b^2=5a^2/9,解得a=3,b^2=5,
∴所求椭圆方程为x^2/9+y^2/5=1.