在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(4m，0)(m＞0，m为常数)，离心率等于0.8，过焦点F、倾斜角为θ的直线l交椭圆C于M、N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若θ＝90°，

Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： ＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(4m，0)(m＞0，m为常数)，离心率等于0.8，过焦点F、倾斜角为θ的直线l交椭圆C于M、N两点．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若θ＝90°， ，求实数m；
(3)试问 的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论．

Answer 1

（1） ＝1.（2）m＝ （3）无关

(1)∵c＝4m，椭圆离心率e＝ ＝ ，∴a＝5m.∴b＝3m.
∴椭圆C的标准方程为 ＝1.
(2)在椭圆方程 ＝1中，令x＝4m，解得y＝± .
∵当θ＝90°时，直线MN⊥x轴，此时FM＝FN＝ ，∴ ＝ .
∵ ＝ ，∴ ＝ ，解得m＝ .
(3) 的值与θ的大小无关．
证明如下：(证法1)设点M、N到右准线的距离分别为d ₁ 、d ₂ .
∵ ＝ ， ＝ ，∴ ＝ .
又由图可知，MFcosθ＋d ₁ ＝ －c＝ ，
∴d ₁ ＝ ，即 ＝ .
同理， ＝ ＝ (－ cosθ＋1)．
∴ ＝ ＋ (－ cosθ＋1)＝ .
∴ ＝ · ＝ .显然该值与θ的大小无关．
(证法2)当直线MN的斜率不存在时，由(2)知， 的值与θ的大小无关．
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝k(x－4m)，
代入椭圆方程 ＝1，得(25k ² ＋9)m ² x ² －200m ³ k ² x＋25m ⁴ (16k ² －9)＝0.
设点M(x ₁ ，y ₁ )、N(x ₂ ，y ₂ )，∵Δ＞0恒成

作业帮用户 2016-11-22

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