过已知双曲线上的任意一点,分别作两条渐近线的平行线,证明他们与渐进线围城的平行四边形面积是定值救命啊

Question

过已知双曲线上的任意一点,分别作两条渐近线的平行线,证明他们与渐进线围城的平行四边形面积是定值
救命啊

Answer 1

设双曲线方程为 x^2/a^2-y^2/b^2=1 ,a>0,b>0 ,焦点在x轴.
则 渐近线为：
L1：y=(b/a)*x
L2：y=-(b/a)*x
P(x0,y0) 是双曲线上任意一点,
设 y=-(b/a)*x+d 是过P点平行L2的直线,交y轴D(0,d),与L1交于E(x1,y1)
则 d=(bx0+ay0)/a ,
x1=(bx0+ay0)/(2b) ,x1 与 x0 同号
因为 三角形DOE的面积S1=|d*x1|/2
于是所求面积S=|x0*d|-2*S1=|x0*d|-|x1*d|
因为 x0与x1同号,所以
S=|x0-x1|*|d|
=(bx0-ay0)(bx0+ay0)/(2ab)
=a^2*b^2/(2ab)=ab/2
即对已知双曲线,S=ab/2 是定值.