如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22AD．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；（3）除了已知和（2）中的两个平面互相垂直以外，在不添

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=(√(2))/(2)AD．
（1）求证：CD⊥平面PAD；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（3）除了已知和（2）中的两个平面互相垂直以外，在不添加其它点和线的情况下，图中还有哪些平面是互相垂直的？

Answer 1

（1）证明：∵底面ABCD是正方形，
∴CD⊥AD，
∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA=PD
过P作PE⊥AD，垂足为E，
∴PE⊥底面ABCD，
∴PE⊥CD，
∵AD∩PE=E，
∴CD⊥平面PAD；
（2）证明：由（1）可知CD⊥平面PAD．
∴CD⊥PA．
又∵PA=PD=(√(2))/(2)AD，
∴△PAD是等腰直角三角形，
且∠APD=90°，
即PA⊥PD
CD∩PD=D，且CD、PD⊂面PDC
∴PA⊥面PDC
又PA⊂面PAB，
∴面PAB⊥面PDC．
（3）除了已知和（2）中的两个平面互相垂直以外，在不添加其它点和线的情况下，图中还有平面PCD⊥平面PAD，平面ABCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD．