已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率是根号6/3过椭圆上一点m作直线ma,M分别交椭圆于A,B两点,且斜率为k1,k2,若点A,B关于原点对称,则k1*k2=

Question

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率是根号6/3过椭圆上一点m作直线ma,M
分别交椭圆于A,B两点,且斜率为k1,k2,若点A,B关于原点对称,则k1*k2=

Answer 1

(1)c/a=√6/3,c=2√2,得a=2√3,a²=12,b²=4
于是椭圆方程为x²/12+y²/4=1
（2）设AB中点为D（x0,y0）,直线AB方程为y=x+b
联立方程得4x²+6bx+3b²-12=0
x1+x2=-3b/2,y1+y2=x1+x2+2b=b/2
于是x0=-3b/4,y0=b/4
而PD垂直AB,所以PD斜率为-1
[（1/4）b-2]/[（-3/4）b+3]=-1,得b=2
于是直线AB方程为y=x+2,|AB|=（√2）√[（x1+x2）²-4x1x2]
x1x2=（3b²-12）/4=0,x1+x2=-3b/4=-3/2,得|AB|=（3/2）√2
|PD|=|-3-2+2|/√2=（3/2）√2
S△PAB=（1/2）|PD|*|AB|=9/4