如图，三棱锥P-ABC中，∠ABC=90°，它的三视图如图所示，求该棱锥的：（Ⅰ）全面积；（Ⅱ）内切球体积；（Ⅲ）外接球表面积．

Question

如图，三棱锥P-ABC中，∠ABC=90°，它的三视图如图所示，求该棱锥的：
（Ⅰ）全面积；
（Ⅱ）内切球体积；
（Ⅲ）外接球表面积．

Answer 1

（Ⅰ）三棱锥的直观图中，侧面PAC与平面ABC垂直，为等腰三角形，底边长为6√(2)，高为4，
侧面PAB，PBC为等腰三角形，底边长为6，高为5，底面ABC是等腰直角三角形，AB=BC=6，
所以全面积为(1)/(2)×6×6+(1)/(2)×6√(2)×4+2×(1)/(2)×6×5=48+12√(2)；
（Ⅱ）设内切球半径为r，则(1)/(3)×(1)/(2)×6×6×4=(1)/(3)×（48+12√(2)）r，
所以r=(3(4−√(2)))/(7)，所以内切球体积为(36(4−√(2))3π)/(343)；
（Ⅲ）设外接球的半径为R，则R²=（3

作业帮用户 2017-10-21

问题解析

（Ⅰ）三棱锥的直观图中，侧面PAC与平面ABC垂直，为等腰三角形，底边长为6√(2)，高为4，侧面PAB，PBC为等腰三角形，底边长为6，高为5，底面ABC是等腰直角三角形，AB=BC=6，故可求全面积；
（Ⅱ）利用等体积求出内切球半径，即可内切球体积；
（Ⅲ）求出外接球的半径，即可求出外接球表面积．

名师点评

本题考点：

球的体积和表面积；由三视图求面积、体积．

考点点评：

本题考查由三视图求面积、体积，考查学生分析解决问题的能力，确定三棱锥的直观图是关键．

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