一几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）（1）试画出它的直观图；（2）求它的表面积和体积．

Question

一几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）
（1）试画出它的直观图；
（2）求它的表面积和体积．

Answer 1

（1）由三视图可知该几何体为棱柱，底面为直角梯形，上下底边长分别为1和2，高为1，侧棱垂直于底面，长为1．直观图如图所示：
（2）法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A₁A，A₁D₁，A₁B₁为棱的长方体的体积的(3)/(4)，
在直角梯形AA₁B₁B中，作BE⊥A₁B₁于E，则AA₁EB是正方形，
∴AA₁=BE=1．
在Rt△BEB₁中，BE=1，EB₁=1，
∴BB₁=√(2)．
∴几何体的表面积S=S_{正方形AA1D1D}+2S_梯形AA1B1B+S_矩形BB1C1C+S_{正方形ABCD}+S_{矩形A1B1C1D1}
=1+2×(1)/(2)×（1+2）×1+1×√(2)+1+1×2
=7+√(2)（m²）．
∴几何体的体积V=(3)/(4)×1×2×1=(3)/(2)（m³），
∴该几何体的表面积为（7+√(2)）m²，体积为(3)/(2)m³．
法二：几何体也可以看作是以AA₁B₁B为底面的直四棱柱，其表面积求法同法一，
V_{直四棱柱D1C1CD-A1B1BA}=Sh
=(1)/(2)×（1+2）×1×1=(3)/(2)（m³）．
∴几何体的表面积为（7+√(2)）m²，体积为(3)/(2)m³．