一个正三棱锥P-ABC的三视图如图所示，尺寸单位：cm．求：（1）正三棱锥P-ABC的表面积；（2）正三棱锥P-ABC的体积．

Question

一个正三棱锥P-ABC的三视图如图所示，尺寸单位：cm．求：
（1）正三棱锥P-ABC的表面积；
（2）正三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

（1）由三视图判断几何体为底面是边长为12的等边三角形，高为2

3

的正三棱锥，其直观图如图：．
底面边长AB=BC=CA=12⇒BD=6

3

．
∵三棱锥P-ABC为正三棱锥，∴O为底面正三角形的中心，
∴DO= (1)/(3) BD=2

3

，∴斜高PD=

12+12

=2

6

∴侧面面积为3× (1)/(2) ×AC×PD=36

6

（cm ² ），
底面面积为 (1)/(2) ×12×12× (3)/(2) = (3)/(4) ×12 ² =36

3

（cm ² ）
∴正三棱锥P-ABC的表面积为36

6

+36

3

（cm ² ）；
（2）正三棱锥P-ABC的体积V= (1)/(3) × (1)/(2) × 12×12×(3)/(2) ×2

3

= (1)/(3) ×36

3

×2

3

=72（cm ³ ）