一个多面体的直观图，正（主）视图，侧（左）视图如下所示，其中正（主）视图、侧（左）视图为边长为a的正方形．（1）请在指定的框内画出多面体的俯视图；（2）若多面体底面对角线A

Question

一个多面体的直观图，正（主）视图，侧（左）视图如下所示，其中正（主）视图、侧（左）视图为边长为a的正方形．
（1）请在指定的框内画出多面体的俯视图；
（2）若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA₁的中点，求证：OE∥平面A₁C₁C；
（3）求该多面体的表面积．

Answer 1

（1）根据多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图，得到俯视图如下：
（2）证明：如图，连接AC，BD交于O点，因为E为AA₁的中点，O为AC的中点，所以在△AA₁C中，OE为△AA₁C的中位线，
所以OE∥A₁C，∵OE⊄平面A₁C₁C，A₁C₁⊂平面A₁C₁C，
所以OE∥平面A₁C₁C．
（3）由三示图可知多面体表面共包括10个面，S_ABCD=a²，SA1B1C1D1＝(a2)/(2)，S△A1AB＝S△B1BC＝S△C1DC＝S△D1AD＝(a2)/(2)，S△AA1D1＝S△BB1A1＝S△CB1C1＝S△DC1D1＝(1)/(2)×(√(2)a)/(2)×(3√(2)a)/(4)＝(3a2)/(8)，
所以表面积S＝a2+(a2)/(2)+4×(a2)/(2)+4×(3a2)/(8)＝5a2．