将长为l的细铁丝剪成三段,分别用来围成圆,正方形和正三角形,问怎样剪法,才能使它们所围成的面积之和最小?并求出最小值.高数下册的问题,不太会,求详解

Question

将长为l的细铁丝剪成三段,分别用来围成圆,正方形和正三角形,问怎样剪法,才能使它们所围成的面积之和最小?并求出最小值.高数下册的问题,不太会,求详解

Answer 1

设圆,正方形和正三角形的三段分别是 x,y,z.
问题成为条件 x+y+z＝1 之下,求
S＝x²/﹙4π﹚+y²/16+√3z²/36 的最小值.用多元函数条件极值的方法 ,令
F＝x²/﹙4π﹚+y²/16+√3z²/36+λ﹙x+y+z-1﹚
从F'x＝F'y＝F'z＝F'λ＝0 解出 x,y,z即可.
答案是
x＝2π√2/﹙2π√2+8√2+18﹚
y＝8√2/﹙2π√2+8√2+18﹚
z＝18/﹙2π√2+8√2+18﹚ 面积S自己去算吧.