已知圆o的半径为3,直线l与圆o相切,一动圆与直线l相切,并与圆o相交的公共弦恰为o的直径,则动圆圆心的轨迹

Question

已知圆o的半径为3,直线l与圆o相切,一动圆与直线l相切,并与圆o相交的公共弦恰为o的直径,则动圆圆心的轨迹

Answer 1

取过O点且与l平行的直线为x轴,过O点且垂直于l的直线为y轴,建立直角坐标系．
设动圆圆心为M（x,y）,
⊙O与⊙M的公共弦为AB,⊙M与l切于点C,则|MA|=|MC|．
∵AB为⊙O的直径,
∴MO垂直平分AB于O．
由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9,而|MC|=|y+3|,
∴x2+y2+9=|y+3|．
化简得x2=6y,这就是动圆圆心的轨迹方程．