抛物线y=x^2与圆（x-a）^2+y^2=b都过点（1,1）,且在此点处,两条曲线存在一条公切线,求a+b.请讲下过程,

Question

抛物线y=x^2与圆（x-a）^2+y^2=b都过点（1,1）,且在此点处,两条曲线存在一条公切线,求a+b.请讲下过程,

Answer 1

1,抛物线切线公式：
若点P(x0,y0)在抛物线y²=2px（p>0）上,
则,过点P的抛物线的切线方程为：y·y0=p·(x+x0).
2,圆的切线公式：若点M(x0,y0)在圆(x-a)²+(y-b)²=r²上,
则,过点M的圆的切线方程为：(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r²

由y=x²,x²=2(1/2)y,
过(1,1)点的抛物线切线为：x=1/2(y+1)
整理得：-2x+y+1=0……①
过(1,1)点的圆的切线为：(x-a)(1-a)+(y-0)(1-0)=b
整理得：(1-a)x+y+(a²-a-b)=0……②
由①②得：-2=1-a,1=a²-a-b
解方程组得：a=3,b=5
a+b=3+5=8