已知两个圆外切,它们的两条外公切线相互垂直,其中大圆的半径为5cm,求小圆半径及外公切线的长.

Question

已知两个圆外切,它们的两条外公切线相互垂直,其中大圆的半径为5cm,求小圆半径及外公切线的长.

Answer 1

定 两条外公切线垂直的交点是A
大圆圆心 O1 ,小圆圆心 O2
取一条外公切线来研究,大圆的切点为 B ,小圆的切点为 C
两个圆的切点为 D
连接AO1
因为 A 为公切线的交点,所以可以得到 点D ,点O2 都 在 AO1 上
因为O1B、O2C 都垂直于 AB
所以 AO2 = 根号2倍的AC ,AD = 根号2倍的AB
AD= O1D + O2D + O2A
设小圆半径 R
则 AD = 5 + R + 根号2倍的R
过 O2 作 O2E垂直于 O1B 于 E点,则 O2E 平行且等于 （外公切线的长）
在三角形 O1EO2 中 用勾古定理,表示出O2E,即 BC
在三角形 O1AB 中 用勾古定理,表示出 AB
最后因为 AB = BC + AC = BC + R
用最后的方程就可以解出 R ,以及 BC