某小球从星球表面某处静止释放.微积分某小球星球距地表H高度处静止释放,加速度与高度的关系是g(h)=g0/(1+h/R)^2,求落地的所需时间与速度大小.求大神指教.最好能告知一下解题过程以及解题

Question

某小球从星球表面某处静止释放.微积分
某小球星球距地表H高度处静止释放,加速度与高度的关系是g(h)=g0/(1+h/R)^2,求落地的所需时间与速度大小.求大神指教.最好能告知一下解题过程以及解题思路.光有个答案没有什么用的.
忽略空气阻力，以上条件是所有可用条件。

Answer 1

a=dv/dt=g0/(1+h/R)^2
v=dh/dt
d^2 h/dt^2=g0/(1+h/R)^2
Set v=dh/dt
d^2 h/dt^2=d(dh/dt)/dt=d(dh/dt)/dh*(dh/dt)=(dv/dh)*v
v*dv/dh=g0/(1+h/R)^2
vdv/g0=dh/(1+h/R)^2
两边积分
v^2/(2g0)=C-R/(1+h/R)
v=根号[C-2g0R/(1+h/R)]
代入初始条件v(0)=0
C=2g0R
v=根号[2g0R-2g0R/(1+h/R)]
=根号[2g0h/(1+h/R)]
dh/dt=根号[2g0h/(1+h/R)]
根号[(1+h/R)/h]dh=根号(2g0)dt
有理替换
z=根号[(1+h/R)/h]
z^2=(1+h/R)/h
z^2h=1+h/R
h=1/(z^2-1/R)
dh=-(z^2-1/R)^(-2)*2zdz
=-2zdz/(z^2-1/R)^2
左边积分变为
积分-2z^2dz/(z^2-1/R)^2
=积分 -2z^2dz/[(z-1/根号R)^2(z+1/根号R)^2]dz
有理积分
-2z^2dz/[(z-1/根号R)^2(z+1/根号R)^2]
=A/(z-1/根号R)+B/(z-1/根号R)^2+C/(z+1/根号R)+D/(z+1/根号R)^2
然后通分,带数字,求出A,B,C,D
-2z^2=A(z-1/根号R)(z+1/根号R)^2+B(z+1/根号R)^2+C(z-1/根号R)^2(z+1/根号R)+D(z-1/根号R)^2
z=1/根号R
-2/R=B*4/R
B=-1/2
z=-1/根号R
-2/R=D*4/R
D=-1/2
z=0
0=-A/R根号R+B/R+C/R根号R+D/R
A-C=-根号R
z=2/根号R
-8/R=9A/R根号R+9B/R+3C/R根号R+D/R
9A+3C=-3根号R
3A+C=-根号R
A=-根号R/2
C=根号R/2
根号[(1+h/R)/h]dh=根号(2g0)dt
两边积分变为
(-根号R/2)ln|z-1/根号R|+(1/2)*1/(z-1/根号R)+(根号R/2)ln|z+1/根号R|+(1/2)*1/(z+1/根号R)=C+根号(2g0)t
代入z=根号[(1+h/R)/h]
(根号R/2)ln|(z+1/根号R)/(z-1/根号R)|+z/(z^2-1/R)=C+根号(2g0)t
(根号R/2)ln|(根号[(1+h/R)/h]+1/根号R)/(根号[(1+h/R)/h]-1/根号R)|+根号[(1+h/R)/h]/((1+h/R)/h-1/R)=C+根号(2g0)t
(根号R/2)ln[(根号[(1+h/R)/h]+1/根号R)^2/(1/h)]+h根号[(1+h/R)/h]=C+根号(2g0)t
(根号R/2)ln[h(根号[(1+h/R)/h]+1/根号R)^2]+h根号[(1+h/R)/h]=C+根号(2g0)t
t=0时h=0
第二个取极限为0 (洛必达)
第一个也是极限0 （洛必达）
所以C=0
t={(根号R/2)ln[h(根号[(1+h/R)/h]+1/根号R)^2]+h根号[(1+h/R)/h]}/根号(2g0)
所以落地时间为
t(h=H)={(根号R/2)ln[h(根号[(1+H/R)/H]+1/根号R)^2]+h根号[(1+H/R)/H]}/根号(2g0)
落地速度为
v(h=H)=根号[2g0H/(1+H/R)]
这题真tm变态