若曲线C1：y=ax2（a>0）与曲线C2：y=ex存在公切线，则a的取值范围为．

Question

若曲线C₁：y=ax²（a>0）与曲线C₂：y=e^x存在公切线，则a的取值范围为___．

Answer 1

由y=ax²（a>0），得y′=2ax，
由y=e^x，得y′=e^x，
曲线C₁：y=ax²（a>0）与曲线C₂：y=e^x存在公共切线，
设公切线与曲线C₁切于点（x1，ax12），与曲线C₂切于点（x2，ex2），
则2ax₁=e^x₂=(ex2-ax12)/(x2-x1)，
可得2x₂=x₁+2，
∴a=(e(x1)/(2)+1)/(2x1)，
记f（x）=(e(x)/(2)+1)/(2x)，
则f′（x）=(e(x)/(2)+1(x-2))/(4x2)，
当x∈（0，2）时，f′（x）<0，f（x）递减；
当x∈（2，+∞）时，f′（x）>0，f（x）递增．
∴当x=2时，f（x）_min=(e2)/(4)．
∴a的范围是[(e2)/(4)，+∞）．
故答案为：[(e2)/(4)，+∞）．