如图,OB是矩形OABC的对角线,点B的坐标为(3,6)．D、E分别是OC、OB上的点,OD＝5,OE＝2EB,过D、E的直线交x轴于点F．(3)若点M是线段DF上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一个点N,使得以O、D、M

Question

如图,OB是矩形OABC的对角线,点B的坐标为(3,6)．D、E分别是OC、OB上的点,OD＝5,OE＝2EB,过D、E的直线交x轴于点F ．
(3)若点M是线段DF上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一个点N,使得以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点N的坐标；若不存在,请说明理由．

Answer 1

（1）设B坐标为（X0,Y0）,则C为（0,Y0）,两点均在抛物线上,代入抛物线联立：
Y0= -1/3(X0)²+X0+6
Y0=6
解得X0=3,Y0=6,即B坐标为（3,6）；
（2）∵OD=5,OE=2EB,易知D、E坐标分别为（0,5）,（2,4）,直线DF表达式为
y= -1/2x+5,得F（10,0）,得在△FOE中,OF=10,OE=2√5,EF=4√5,
则OE/BC=EF/OC=OF/OB=2√5/3,∴△FOE相似于△OBC；
（3）假设存在,设M（X1,Y1）,N（X2,Y2）,∵M在直线DE上,
∴满足：Y1= -1/2X1+5 ①
又∵四边形ODMN为菱形,则DM平行于ON,ON斜率等于DE的斜率为 -1/2,又过（0,0）,由此得ON直线的表达式为 y= -1/2x,
得：Y2= -1/2X2 ②
菱形四边相等为5,则DM=√[(X1)²+(Y1-5)²]=5 ③ ON=√[(X2)²+(Y2)²]=5 ④
联立②、④可得：X2= 2√5,Y2= -√5 或者 X2= -2√5,Y2=√5
则存在满足条件的N,坐标为（-2√5,√5）.