已知直线y=43x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，以AB为边作菱形ABCD，使点C落在第一象限内，点D落在x轴上，点P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，连接BP并延长，交CD于点E，交x轴于点F．（1）求出点C

Question

已知直线y=(4)/(3)x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，以AB为边作菱形ABCD，使点C落在第一象限内，点D落在x轴上，点P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，连接BP并延长，交CD于点E，交x轴于点F．
（1）求出点C的坐标；
（2）当PE=2，EF=4，求PB的长；
（3）是否存在某一点F，使得以B、O、F为顶点的三角形与△AOB相似？如果存在，请求出点F的坐标．

Answer 1

（1）令y=0，则(4)/(3)x+4=0，解得x=-3，
令x=0，则y=4，
∴点A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
由勾股定理得，AB=√(OA2+OB2)=√(32+42)=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=5，
∴点C（5，4）；

（2）∵BC∥AF，
∴△BCP∽△FAP，
∴(PB)/(PF)=(BC)/(AF)，
即(PB)/(2+4)=(5)/(5+DF)①，
∵BC∥AF，
∴△BCE∽△FDE，
∴(BE)/(FE)=(BC)/(DF)，
即(PB+2)/(4)=(5)/(DF)②，
联立①②解得PB=2√(3)；

（3）①OF和OA是对应边时，△FOB∽△AOB，
∴(OF)/(OA)=(OB)/(OB)，
即(OF)/(3)=(4)/(4)，
解得OF=3，
此时，点F（3，0），
②OF和OB是对应边时，△BOF∽△AOB，
∴(OF)/(OB)=(OB)/(OA)，
即(OF)/(4)=(4)/(3)，
解得OF=(16)/(3)，
此时，点F（(16)/(3)，0），
综上所述，（3，0），（(16)/(3)，0）．