如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F，连接AD与内切圆相交于另一点P，连接PC、PE、PF、FD，且PC⊥PF．求证：（1）△PFD∽△PDC；（2）EPDE

Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E

、F，连接AD与内切圆相交于另一点P，连接PC、PE、PF、FD，且PC⊥PF．
求证：（1）△PFD ∽ △PDC；（2） (EP)/(DE) = (PD)/(DC) ．

Answer 1

（1）∵BC与圆相切，
∴∠PFD=∠PDC．


∵BF、BD分别于圆相切，
∴∠BFD=∠BDF=45°．
∴∠FPD=45°．
∵PC⊥PF，
∴∠FPD=∠DPC．
∴△PFD ∽ △PDC．

（2）∵AE、AF与圆相切，
∴∠AFP=∠ADF，∠AEP=∠ADE，
∵∠FAD=∠PAF，∠EAP=∠DAE，
∴△AFP ∽ △ADF，△AEP ∽ △ADE，
∴ (AF)/(AD) =(PF)/(FD) 、 (AE)/(AD) =(PE)/(ED) 且AE=AF，
∴ (PF)/(FD) =(PE)/(ED) ．
∵△PFD ∽ △PDC，
∴ (PF)/(FD) =(PD)/(DC) ．
∴ (EP)/(DE) = (PD)/(DC) ．