如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，则O1O2=．

Question

如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，⊙O ₁ 和⊙O ₂ 分别是△ABC和△ADC的内切圆，则O ₁ O ₂ =______．

Answer 1

∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12；
∴AC=13，△ABC≌△CDA，则⊙O ₁ 和⊙O ₂ 的半径相等．
如图，过O ₁ 作AB、BC的垂线分别交AB、BC于N、E，过O ₂ 作BC、CD、AD的垂线分别交BC、CD、AD于F、G、H；
∵∠B=90°，
∴四边形O ₁ NBE是正方形；
设圆的半径为r，根据切线长定理5-r+12-r=13，解得r=2，
∴BE=BN=2，
同理DG=HD=CF=2，
∴CG=FO ₂ =3，EF=12-4=8；
过O ₁ 作O ₁ M⊥FO ₂ 于M，则O ₁ M=EF=8，FM=BN=2，
∴O ₂ M=1，
在Rt△O ₁ O ₂ M中，O ₁ O ₂ =

8 2 + 1 2

=

65

．