M为三角形ABC的边BC上一点三角形ABMACM内切圆半径相等证明AM=根号((b+c)^2-a^2)/222222222222222222222222222222222

Question

M为三角形ABC的边BC上一点
三角形ABM ACM内切圆半径相等
证明AM = 根号((b+c)^2-a^2)/2
22222222222222222222222222222222

Answer 1

设AM分两个三角形面积分别为S1和S2,AM＝H,M分BC为x,y两段,
那么R1＝S1/（c+x＋H）＝R2＝S2/(b+y+H),得到
S1：S2＝（c+x＋H）：（b+y+H)
又因为三角形ABM和三角形AMB等高,其面积比S1：S2＝x：y,
所以,（c+x＋H）：（b+y+H)＝x：y,化简的x：y＝（c+H)：(b+H）
又x＋y＝a,所以,x＝a(c+H)/(b+c+2H),y=a(b+H)/(b+c+2H)
三角形ABM面积为0.25【（c+H)/(b+c+2H)】sqrt（a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2)
再次利用海伦公式三角形ABM面积为0.25sqrt（c^4+x^4+H^4-2c^2x^2-2H^2c^2-2x^2H^2)
利用上两式相等得化简后得：
2（c+H)^2H^2=(c+H)^2(b+c)^2-(b+c+2H)^2,
代入x=a(c+H)/(b+c+2H),化简得
H＝sqrt[(b+c)^2-a^2)/2]
证毕(sqrt表示括号内表达式得算术平方根）