如图,已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线,这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B,且OA=OB=1．这条曲线是函数y=2x分之1的图象在第一象限的一个分支,点P是这条曲线上任意一点,它的坐标是（

Question

如图,已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线,这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B,且OA=OB=1．
这条曲线是函数y=2x分之1的图象在第一象限的一个分支,点P是这条曲线上任意一点,它的坐标是（a、b）,由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN,垂足是M、N,直线AB分别交PM、PN于点E、F．（1）证明AF•BE=1（2）分别求出点E、F的坐标（用a的代数式表示点E的坐标,用b的代数式表示点F的坐标,只须写出结果,不要求写出计算过程）；
（3）求△OEF的面积（结果用含a、b的代数式表示）；
（4）△AOF与△BOE是否一定相似,请予以证明；如果不一定相似或一定不相似,简要说明理由．
（5）当点P在曲线y=2x分之1上移动时,△OEF随之变动,指出△OEF的三个内角中,大小始终保持不变的那个角的大小,并证明你的结论

Answer 1

(1) E(a,1-a),F(1-b,b)
(2)直线在x轴和y轴上的截距均为1,其方程为x + y = 1,x + y - 1 = 0
O与其距离为h = |0 + 0 -1|/√(1+1) = 1/√2
EF = √[(a - 1 + b)² + (1 -a -b)²] = (√2)|a + b -1|
这条曲线是函数y=12/x的图象在第一象限的一个分支,显然a + b > 1
EF = (√2)(a + b -1)
△OEF的面积 = (1/2)*EF* h
= (1/2)(√2)(a + b -1)(1/√2)
= (a + b -1)/2
(3)
AF = √[(1 - b -1)² + (b - 0)²] = (√2)b
BE = √[(a - 0)² + (1 - a - 1)²] = (√2)a
(4)△AOF与△BOE相似,则AOF与BOE二角相等,均减去公共部分角EOF,则AOE与BOF二角相等
tanAOE = |EM/OM| = |1 - a|/a
tanBOF = |FN/AN| = |1 - b|/b
只有在a = b时,二者才可能相似(容易证明此时二者的确相似; 实际上全等)