已知直线Y=-根号3分之3X+1与X轴,Y轴分别交于点A,B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰△ABC,∠BAC=90°,且点P（1,a）为坐标系中的一个动点.(1)求S△ABC(2)证明△BOP的面积是一个与a无关的常数(3)若

Question

已知直线Y=-根号3分之3X+1与X轴,Y轴分别交于点A,B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰
△ABC,∠BAC=90°,且点P（1,a）为坐标系中的一个动点.
(1)求S△ABC
(2)证明△BOP的面积是一个与a无关的常数
(3)若△ABC和△ABP面积等,求a的值

Answer 1

如图,根据题意,P点有两种可能P1和P21、 先求P1点的a
根据y=-[(√3)/3]x+1得：A点的坐标为（√3,0）、B点的坐标为（0,1）
∴OB=1、OA=√3,AB=√(OB^2+OA^2)=2=AC
∵∠BAC=90°∴三角形ABC的面积=(1/2)AB×AC=2
三角形ABP1的面积=梯形AODP1的面积+三角形AOB的面积－三角形BDP1的面积=三角形ABC的面积
∵DP1=1、OA=√3、OD=a、OB=1、DB=OD+OB=a+1
∴S△ABP1=(1/2)(DP1+OA)×OD+(1/2)OA×OB－(1/2)DP1×DB=（1/2）AB×AC
∴(1/2)（1+√3）×a+(1/2) √3×1－(1/2) ×1×(a+1)= （1/2）×2×2
解得：a=(1/3)[(5√3)-3]
∵P1在第四象限∴a=-(1/3)[(5√3)-3]
2、 求P2点的a
三角形ABP2的面积=梯形AOEP2的面积－三角形AOB的面积－三角形BEP2的面积=三角形ABC的面积
∵EP2=1、OA=√3、OB=1、OE=a、BE=OE-OB=a-1
∴S△ABP2=（1/2）（EP2+OA）×OE－（1/2）OA×OB－（1/2）EP2×BE=（1/2）AB×AC
即：（1/2）（1+√3）a－（1/2）×√3×1－（1/2）×1×(a-1) =（1/2）×2×2
解得：a=(√3)+1
∴实数a的值为-(1/3)[(5√3)-3]或(√3)+1