将一个正三角形的各边都n等分，过各分点作其它两边的平行线，一共可产生多少个三角形(包括原来的三角形在内)?

Question

将一个正三角形的各边都n等分，过各分点作其它两边的平行线，一共可产生多少个三角形(包括原来的三角形在内)?

Answer 1

解析：
如图，不妨设正△ABC的边长为n，首先考虑“头朝上”的三角形，即平行于水平线的那条边在其对角顶点下方的三角形.边长为1的“头朝上”的三角形有1+2+…+n=个.边长为2的“头朝上”的三角形有1+2+…+(n-1)=个.  ……边长为n的“头朝上”的三角形只有1个.从而，“头朝上”的三角形共有个.然后考虑“头朝下”的三角形，即平行于水平线的那条边在其对角顶点上方的三角形.边长为1的“头朝下”的三角形有1+2+…+(n-1)= 个.边长为2的“头朝下”的三角形有1+2+…+（n-3）=个.边长为m的“头朝下”的三角形有=1k个(n+1＞2m).故当n为奇数时，“头朝下”的三角形有.=个. 当n为偶数时，“头朝下”的三角形有=个.综上所述，一共产生的三角形的个数为N=