三角形的三条中线组成的三角形是否与原三角形相似,为什么?

Question

三角形的三条中线组成的三角形是否与原三角形相似,为什么?

Answer 1

答：ma=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2),不妨设a≥b≥c,则ma≤mb≤mc.
若命题成立,则ma/c=mb/b=mc/c,乘以2,再平方,得
(2b^2+2c^2-a^2)/c^2=(2c^2+2a^2-b^2)/b^2=(2a^2+2b^2-c^2)/a^2,于是
2b^4+2b^2*c^2-a^2*b^2=2c^4+2a^2*c^2-b^2c^2,且2a^2*c^2+2a^4-a^2*b^2=2a^2*b^2+2b^4-b^2*c^2,
前者即a^2=(2b^4+3b^2*c^2-2c^4)/(b^2+2c^2)=2b^2-c^2,后者即c^2=2b^2-a^2,
两者都是a^2+c^2=2b^2,换句话说,a^2,b^2,c^2成等差数列.上述推理可逆.
所以,当且仅当三边的平方成等差数列时,三角形的三条中线组成的三角形与原三角形相似.