如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E，设AP=x．（1）求AC的长；（2）如果△ABP和△BCE相似，请求出x的值；（3）当△ABE

Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E，设AP=x．
（1）求AC的长；
（2）如果△ABP和△BCE相似，请求出x的值；
（3）当△ABE是等腰三角形时，求x的值．

Answer 1

（1）过点A作AF⊥BC于F（1分）
在Rt△AFB中，∠AFB=90°，∠ABF=60°
∴AF=ABsin∠ABF=4sin60°=4×(√(3))/(2)=2√(3)，
BF=ABcos∠ABF=4cos60°=4×(1)/(2)＝2
在Rt△AFC中，∠AFC=90°
∴AC＝√(AF2+FC2)＝√((2√(3))2+42)＝2√(7)（1分）

（2）过点P作PG⊥BC于G，在Rt△BPG中，∠PGB=90°，
∴BP＝√(BG2+PG2)＝

作业帮用户 2017-11-13

问题解析

（1）过点A作AF⊥BC于F，在直角△ABF中运用三角函数即可求得AF的长，再在直角△ACF中，根据勾股定理即可求解；
（2）过点P作PG⊥BC于G，在直角△BPG中，根据勾股定理即可求得：BP．根据相似三角形对应边的比相等即可求得x的值；
（3）当△ABE是等腰三角形时，应分为，AE=AB，BE=AB，AB=AE（根据∠BAE是直角，可得这种情况不可能）几种情况讨论．

名师点评

本题考点：

相似三角形的性质；解二元一次方程；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质．

考点点评：

此题是一个综合性很强的题目，主要考查等腰三角形的性质、三角形相似、解直角三角形、方程等知识．难度较大，有利于培养同学们钻研和探索的问题的精神

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