如图1，已知线段AB=8，点C是AB上的一动点（不包括A、B），在AB同侧作两个等边三角形ACD和BCE，连DE，点P、F分别是DE和BE的中点，连接AF，分别交DC、CE于G、H．（1）写出图中所有的相似三角形

Question

如图1，已知线段AB=8，点C是AB上的一动点（不包括A、B），在AB同侧作两个等边三角形ACD和BCE，连DE，点P、F分别是DE和BE的中点，连接AF，分别交DC、CE于G、H．

（1）写出图中所有的相似三角形（除等边三角形ACD和BCE外）；
（2）当点C在AB中点时，如图2，求CP的长及AG：GH：HF；
（3）点M、N是线段AB上两点，且AM=BN=2，当点C从点M向点N运动时，求点P所经过的路径长．

Answer 1

（1）△ADG∽△HCG∽△HEF（三对），△ACG∽△ABF，
（2）∵△ACD和△BCE是等边三角形，点C在AB中点
∴∠DCA=∠EDB=60°，CD=AC=BC=CE，
∴∠DCE=60°，
∴△CDE是等边三角形，
又∵P为DE的中点，
∴CP=(√(3))/(2)DE=2√(3)，
∵CD∥BE，
∴AG：GF=AC：BC=1，CG：BF=(1)/(2)，
∴AG=GF，CG=(1)/(2)BF=1，
又∵△HCG∽△HEF，
∴GH：HF=CG：EF=(1)/(2)，
∴AG：GH：HF=3：1：2，
（3）点A点为原点，AB为x轴，垂直为AB的线为y轴．
C点在M点时，D的坐标为（1，√(3)），E的坐标为（5，3√(3)），则P点坐标为（3，2√(3)）
C点在N点时，D'的坐标为（3，3√(3)），E'的坐标为（7，√(3)），则P‘点的坐标为（5，2√(3)）．
由P，P′点的坐标可求出P的路径为5-3=2．
故点P所经过的路径长为2．