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给出以下五个命题:①若直线l∥直线a,a⊂β,则l∥β;②如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,则l⊥平面γ;③命题“函数f(x)在x=x0处有极值,则f′(x0)=0”的否命题是真命题

题目详情
给出以下五个命题:
①若直线l∥直线a,a⊂β,则l∥β;
②如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,则l⊥平面γ;
③命题“函数f(x)在x=x0处有极值,则f′(x0)=0”的否命题是真命题;
④命题p:“∃x0∈R,使得x02+x0+1<0”,则¬p:“∀x∈R,均有x2+x+1≥0”;
⑤设函数f(x)=ex,g(x)=lnx+m,对于∀x1∈[1,2],∃x2∈[1,2],使不等式f(x1)>g(x2)成立,则m<e-ln2.
其中正确的命题序号为______.(将你认为正确的命题的序号都填上)
▼优质解答
答案和解析
①若直线l∥直线a,a⊂β,则l∥β或l⊂β,故①错误;
②平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,则l⊥平面γ,正确.
理由如下:设α∩γ=m,β∩γ=n,不妨在平面γ内过点P作a⊥m,b⊥n,易知a⊥l,b⊥l,a∩b=P,a⊂γ,b⊂λ,于是l⊥平面γ;
③命题“函数f(x)在x=x0处有极值,则f′(x0)=0”的否命题是:“若f′(x0)=0,则函数f(x)在x=x0处有极值”为假命题,例如函数y=x3,f′(0)=0,但在x=0处无极值;
④命题p:“∃x0∈R,使得x02+x0+1<0”,则¬p:“∀x∈R,均有x2+x+1≥0”为真命题;
⑤∵f(x)=ex与g(x)=lnx+m均为区间[1,2]上的增函数,依题意,对于∀x1∈[1,2],∃x2∈[1,2],使不等式f(x1)>g(x2)成立,则f(x1max>g(x2min,即e2>ln2+m,解得m<e2-ln2,故⑤错误.
综上所述,②④正确,
故答案为:②④.