设抛物线经过两点（-1，6）和（-1，-2）对称轴与x轴平行，开口向右，直线y=2x+7被抛物线截得的线段的长是410，求抛物线的方程．

Question

设抛物线经过两点（-1，6）和（-1，-2）对称轴与x轴平行，开口向右，直线y=2x+7被抛物线截得的线段的长是 4

10

，求抛物线的方程．

Answer 1

∵两点（-1，6）和（-1，-2）的中点为（-1，2），因此可设要求的抛物线方程为（y-2） ² =2p（x+a）．（p＞0）．
∵点（-1，6）在抛物线上，∴2p（-1+a）=16，化为p（a-1）=8．∴ p=(8)/(a-1) ．
设直线y=2x+7与抛物线相交于点A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ），
联立

y=2x+7

(y-2 ) 2 =(16)/(a-1) (x+a)

，化为4（a-1）x ² +（20a-36）x+9a-25=0．（a＞0，a≠1）
∴x ₁ +x ₂ = (9-5a)/(a-1) ，x ₁ x ₂ = (9a-25)/(4(a-1)) ．
∵|AB|=

(1+ 2 2 )[( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 ]

= 4

10

，
∴ 5[((9-5a)/(a-1) ) 2 -(9a-25)/(a-1) ] =16×10，化为2a ² -a-3=0，解得a=-1或a= (3)/(2) ．
∵a＞0，∴a= (3)/(2) ．
∴ p=(8)/((3)/(2)-1) =16．
∴抛物线的方程为 (y-2 ) 2 =32(x+(3)/(2) ) ．