抛物线上对称点的问题（高中）抛物线y=ax^2-1(a>0)上总有关于直线y=x对称的两点,求实数a的取值范围.（请写出计算过程,或求的方法,）

Question

抛物线上对称点的问题（高中）
抛物线 y=ax^2-1 (a>0)上总有关于直线y=x对称的两点,求实数a的取值范围.
（请写出计算过程,或求的方法,）

Answer 1

这题是典型的点差法解题.具体如下
设存在这两点为A（x1,y1),B(x2,y2)则它们满足抛物线方程,即
y1=ax1^2-1
y2=ax2^2-1
以上两式相减,得
y2-y1=a(x2-x1)(x2+x1)
注意到两个点在直线上,即(y2-y1)/(x2-x1)=1
代入,得 x1+x2=1/a
设A,B 中点（x,y),它在那条直线上.且x=(x1+x2)/2.代入直线方程解出y
有x=1/2a,y=1/2a
注意到这点必须在抛物线内部,即a>0时,y>ax^2-1
a