如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相似,如何证明

Question

如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相似,如何证明

Answer 1

证明：设AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线
延长D到E点,使DE=DA
延长D'到E'点,使D'E'=D'A'
则 ABEC及A'B'E'C'是平行四边形
可证得 三角形ABE相似三角形'A'B'E
三角形ACE相似三角形'A'C'E
从而 角BAE=角B'A'E' 角CAE=角C'A'E'
则 角BAC=角B'A'C'
因此 三角形ABC及三角形A'B'C'的两边对应成比例及其对应夹角相等
所以 三角形ABC相似三角形A'B'C
因此 如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,
那么这两个三角形相似.