如果一个直角三角形的三边都是自然数,而且周长和面积相等,这个三角形的边长是多少?

Question

如果一个直角三角形的三边都是自然数,而且周长和面积相等,这个三角形的边长是多少?

Answer 1

设直角三角形的三边分别为a,b,c.
→ a^2+b^2=c^2
如图,将4个相同的直角三角形拼接成两个正方形,边长一个是c,一个是d.
→ d=a+b
∵ 三角形周长等于面积
∴ 两个正方形的面积差等于阴影部分的面积等于阴影部分的周长等于两个正方形的周长和.
→ d^2-c^2=4(c+d)
→ d-c=4
∵ d=a+b
→ a+b-c=4
→ c=a+b-4
∵ a^2+b^2=c^2
→ a^2+b^2=(a+b-4)^2
→ ab-4a-4b+8=0
→ (a-4)(b-4)=8
∴ (a-4,b-4)=(1,8)或(2,4)
带回a,b,c.
直角三角形为(5,12,13)或(6,8,10).