下列命题中，其中真命题的个数有（）个①若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，θ∈(π4，π2)，则f（sinθ）＞f（cosθ）②△ABC为锐角三角形是tanA+tanB+tanC＞0的充要

Question

下列命题中，其中真命题的个数有（　　）个
①若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，θ∈((π)/(4)，(π)/(2))，则f（sinθ）＞f（cosθ）
②△ABC为锐角三角形是tanA+tanB+tanC＞0的充要条件
③若|

a

+

b

|=|

a

−

b

|，

a

•

b

＝0
④函数f(x)＝(x−1)/(2x+1)，(−(1)/(2)，−(1)/(2))是其对称中心
⑤命题P：∃x∈R，mx²+1≤0，命题q：∀x∈R，x²+mx+1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是m＞2．

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

①若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，
则函数在[0，1]上为减函数，
若θ∈((π)/(4)，(π)/(2))，则0＜cosθ＜sinθ＜1，
则f（sinθ）＜f（cosθ），故①为假命题；
②∵tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC=tanC（tanAtanB-1）+tanC=tanAtanBtanC＞0，
∴A，B，C是△ABC的内角，故内角都是锐角．
反之，当△ABC的内角都是锐角时，tanA+tanB+tanC＞0．
故△ABC为锐角三角形是tanA+tanB+tanC＞0的充要条件，故②是真命题；
③∵|

a

+

b

|=|

a

−

b

|，∴

a

2+

a

•

b

+

b

2=

a

2−

a

•

b

+

b

2，
∴

a

•

b

＝0，故③正确；
④设f（x）的对称中心是（a，b），有f（x）+f（2a-x）=2b
f（x）+f（2a-x）=(x−1)/(2x+1)+(2a−x−1)/(4a−2x+1)
=（4x²-8ax+2a+2）÷（4x²-8ax-4a-1）
=2b，
∴2a+2+4a+1=0，2b=1
a=-(1)/(2)，b=(1)/(2)，
∴f（x）的对称中心是（-(1)/(2)，(1)/(2)），故④不正确；
⑤∵p∨q为假命题，∴p，q均为假命题，
即￢p：x∈R，mx²+1＞0和￢q：x∈R，x²+mx+1≤0均为真命题，
由￢p：x∈R，mx²+1＞0为真命题，得到m≥0；
由￢q：x∈R，x²+mx+1≤0为真命题，得到△=m²-4≥0，解得m≥2，或m≤-2．
综上，m≥2．故⑤正确．
故选C．