十八世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出投针问题：在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为l的针任意掷在这个平面上，求得此针与平行线中任一条相交的概率p=2l

Question

十八世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出投针问题：在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为l的针任意掷在这个平面上，求得此针与平行线中任一条相交的概率p= (2l)/(πa)（π为圆周率）．已知l=3.14，a=6，π≈3.14，现随机掷14根相同的针（长度为l）在这个平面上，记这些针与平行线（间距为a）相交的根数为m，其相应的概率为p（m）．当p（m）取得最大值时，m=___．

Answer 1

由题意可得，p=(2l)/(πa)=(1)/(3)，
∴p（m）=

C

m 14

((1)/(3))m((2)/(3))14-m，
∴P（m）-P（m-1）=

C

m 14

((1)/(3))m((2)/(3))14-m-

C

m-1 14

((1)/(3))m-1((2)/(3))15-m
=(14!)/((m-1)!(14-m)!)[(1)/(3m)-(2)/(3(15-m))]，
=(1)/(3)×(14!)/((m-1)!(14-m)!)[(15-3m)/(m(15-m))]，
∵m≤14，∴m（15-m）>0，
当m=5时，P（5）=P（4），
当m<5时，P（m）-P（m-1）>0，即P（4）>P（3）>P（2）>P（1），
当m>5时，P（m）-P（m-1）<0，即P（5）>P（6）>P（7）>P（8）>P（9）>P（10）>P（11）>P（12）>P（13）>P（14），
P（4）=P（5）最大．
故答案为：4或5