如图ad是三角形abc的角平分线,BE垂直AD,交AD的延长线于E,ef平行ac交ab于f,求证af=bf

Question

如图 ad是三角形abc的角平分线,BE垂直AD,交AD的延长线于E,ef平行ac交ab于f,求证af=bf

Answer 1

从F作FG||BE,则有FG⊥AD
∵EF||AC
∴∠FEA=∠CAE=∠BAE（AD是三角形ABC的角平分线）
∴AF=EF
∴△AFG≌△EFG
∴∠AFG=∠EFG,AF=FE
∵FG||BE
∴∠AFG=∠FBE,∠EFG=∠FEB
∴∠FBE=∠FEB
∴FB=FE
∴AF=FB
或者：
因为EF平行于AC,所以角FEA等于角EAC,因为AD是三角形ABC的角平分线,所以角BAE等于角EAC,所以角BAE等于角FEA,所以AF等于FE.
在三角形ABE中,AE垂直于BE,所以角BEA为90度,角FEB＝90度－角FEA,因为三角形ABE是直角三角形,所以角FBE＝90度－角BAE,因为角BAE＝角FEA,所以角FEB＝角FBE,所以FB＝FE.
所以AF＝FB