（1）已知z1，z2是两个虚数，并且z1+z2与z1z2均为实数，求证：z1，z2是共轭复数（2）求证：无论θ为何值，方程x2-（tanθ+i）x-（i+2）=0都不可能有纯虚数根．

Question

（1）已知z₁，z₂是两个虚数，并且z₁+z₂与z₁z₂均为实数，求证：z₁，z₂是共轭复数
（2）求证：无论θ为何值，方程x²-（tanθ+i）x-（i+2）=0都不可能有纯虚数根．

Answer 1

证明：（1）设z₁=a+bi，z₂=c+di（a，b，c，d∈R），且b，d≠0，
则z₁+z₂=（a+c）+（b+d）i为实数，可得b+d=0．
由z₁z₂=（ac-bd）+（ad+bc）i为实数，可得bc+ad=0，
把d=-b代入上式可得：b（c-a）=0，
∵b≠0，∴c=a．∴z₁，z₂是共轭复数．
（2）假设此方程有纯虚数根bi（b∈R且b≠0），代入可得：（bi）²-（tanθ+i）bi-（i+2）=0，化为（b²-b+2）+（btanθ+1）i=0，
∵b²-b+2=(b-(1)/(2))2+(7)/(4)>0，因此b²-b+2=0无实数根，这与假设矛盾，
∴假设不成立，
因此原命题成立．