已知复数z1=a-4i，z2=8+6i，z1z2为纯虚数．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求复数z1的平方根．

Question

已知复数z₁=a-4i，z₂=8+6i，(z1)/(z2)为纯虚数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求复数z₁的平方根．

Answer 1

（Ⅰ）∵复数z₁=a-4i，z₂=8+6i，
(z1)/(z2)=(a−4i)/(8+6i)=((a−4i)(8−6i))/((8+6i)(8−6i))=(8a−24−(32+6a)i)/(100) 为纯虚数，
∴8a-24=0，且 32+6a≠0，∴a=3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得复数z₁=a-4i=3-4i，设z₁的平方根为a+bi，a、b∈R，
则3-4i=a²-b²+2abi，∴a²-b²=3，2ab=-4．
解得

a＝2

b＝−1

，或

a＝−2

b＝1

，
∴z₁的平方根为2-i，或-2+i．